一問一答の一歩

xの値が決まるとyの値の一つに決まることが正解です

関数の条件は以下の通りです。

• ・異なる2つの変数があり
• ・一つの変数の値が決まった時にそれに対応するもう一方の値が決まること

また、学校で習う関数は関係式がありますが、実は関数に関係式は必ず存在する必要はありません。
また、勘違いしやすいのですが、以下のように関係式が定められていても必ずしも関数とは限らないので注意する必要はあります。

• 座標平面上に半径が5の円を描く関係式
• x²+y²=25

※上記の式は仮にx=3の時にyが4の可能性も-4の可能性もあり、一つに確定しない。

x軸が正解です

数学の関数でよく使用される文字と関数の向きの対応は以下のようになっています。

• x軸……横向き
• y軸……縦向き

なお、xとyの文字を使用していなかった場合は説明変数が横､被説明変数が縦となります。

変化の割合が正解です

横向きに1だけ進むと、縦向きにどれだけ変化したかを示す割合であることから変化の割合と呼ばれています。
また、1時間数において、以下の3つの値は同じものを示しているのでセットで覚えておきましょう。
(傾き)=(変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量)

比例が正解です

比例は1次関数と呼ばれる2つの数字の特殊形です。
特徴としては片方の数字が2倍、3倍と変わるとそれにともなってもう片方も2倍､3倍と変わることから対応する比の例を全て表していることから比例と呼ばれています。
また、比例のグラフは折れ線グラフの特殊系であり、原点を通る直線となっています。

反比例が正解です

問題文の定義は一般的な反比例の定義とは異なりますが、この定義の仕方の分かっていると、反比例の関係性が見えやすくなるので、追加しました。
また、反比例の満たしている場合は片方が2倍,3倍となると、もう片方は1/2倍、1/3倍となっていく様子が比例の反対のように見えることから反比例と呼ばれています。
また、反比例は分数関数の特殊計ではありますが、分数関数に従っている2つの数の積は常に等しいとはかぎらないので、分数関数も不適切です。

直線が正解です

関数の種類ごとにグラフが描く図形はある程度決まっており、具体的には以下の通りです。

• 直線……一次関数のグラフの形
• 放物線……二次関数のグラフの形
• 双曲線……反比例の形

中学校の関数についてのまとめはこちらを確認するとよいでしょう。

(直角)双曲線が正解です

中学校に出てくる関数の一覧は以下の通りです。

• ・直線……1次関数のグラフの形
• ・放物線……2次関数のグラフの形
• ・双曲線……反比例のグラフの形

発展的な内容になりますが以下の関係式が全て成り立っている場合その式が示す図形は必ず直角双曲線になります。

• bx²-by²+sxy=a
• b=(1-s²)
• 0≦s≦1

そして、s=1ときに、反比例の形と一致するので、反比例のグラフは双曲線になります。

a=xyが正解です

反比例とは、xとyの値をかけた時の積が常に一定となる関係性のことを示します。
また、関数の式に関しては以下の通りです。

• y=ax+b……一次関数の式
• y=ax²……二次関数の式
• a=xy……反比例の式

y=ax+bが正解です

選択肢にでのくるものは、よく出てくる関数であり、種類も多いことから知識が混ざりやすいので注意しましょう。
なお、各選択肢について述べると以下の通りです。

• a=xy……反比例の式
• y=ax+b……一次関数の式
• y=ax²……二次関数の式

y=ax²が正解です

y=ax+bは一次関数の式、x²+y²=a²は座標平面上に円を描くためのxとYの関係式であり、関数の式ですらありません。

y=(傾き){x－(1点のx座標)}+(1点のy座標)が正解です

y=(傾き){x－(1点のx座標)}+(1点のy座標)に代入することによって一次関数の式を導出することができます。
y=(傾き){x－(1点のx座標)}²+(1点のy座標)は2次関数を求める公式です。

(a√2,a√2)が正解です

代入すれば計算できますが、(1,a)、aが平方数(4,9のような整数の2乗で表される数)は(√a,√a)を通ることを知っておくと反比例の作図がスムーズになります。 また、高校の範囲になりますが、(√a,√a)は双曲線の頂点、(a√2,a√2)は双曲線の焦点と呼ばれる点です。

比が正解です

また、雑学にはなってしまいますが、比は日常でもよく使用されており、たまに聞くものは以下の通りです。

• ・アスペクト比……長方形の縦の長さと横の長さの比
• ・黄金比……5:8の比で近似して表される比率
• ・白銀比……5:7の比で近似して表される比率

切片が正解です

二つの数字の関係を示すもののうち、以下の2つは同じ意味を示しており、以下のような使い分けをされています。

• ・比を用いている場合::比の値
• ・比例を用いて考えている場合:比例定数

三平方の定理が正解です

座標平面において、x軸とy軸は垂直であるので、座標平面上の直線はx軸と平行な直線、y軸と平行な直線を用いることで必ず直角三角形を作ることができます。
直角三角形を作成することができれば、三平方の定理を用いて長さを求めることができることから、三平方の定理を用いて導出します。

定数が正解です

詳細な値が分からない数字はxやy,a,nなどの文字を用いて表されるのですが、文字の使われ方は大きく分けて以下の3つに別れています。

• ・未知数……方程式を組み立てた時の求めるべき答え
• ・定数……一つの問題中で値が変動することの無い想定の文字
• ※例:関数における傾きaと切片b､円周率π
• ・変数……一つの問題中で値が変動する想定の文字
• ※例:関数におけるx,y

この3つの区別が、数学の問題に直接役に立つことは少ないですが、解説中で文字を無意識下で3つのうちどの用途で用いているかも意識できるようになるると、変数について混乱しにくくなります。