一問一答の一歩

直径と円周が正解です

円周は直径と円周の長さの比を表したものであり、具体的な値は以下のようになっています。

• π≒3.14159265358979323……

• 直径100mmのとき、円の一周の長さは訳314mm直径200mmのとき、円の一周の長さは2倍になって628mmになります。

【ゆっくり解説】数学史上最悪のミス!?なぜ円周率は直径を用いたのか?

円周率とは、直径と円周の長さとの比率のことで、3.141592…とどこまでも無限に続いていく数学の定数です。
しかし、なぜ円周と『直径』を比べたのでしょうか？
数学の様々な公式には半径（r）は見られますが、直径は全くと言っていいほど登場しません。
なのに、なぜ円周率の計算だけは直径が用いられるのでしょうか？
実は直径を扱うことに数学的な根拠は特にありません。意外ですね。昔からの慣習に従っているだけなのです。

そこで、今回はもし円周率が『円周÷半径』で定義されていたら、世の中の様々な数式はどう変化していたのか見ていきます。

★前回の動画
『円周率の基本～求め方を解説』

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#数学#円周率

https://www.youtube.com/watch?v=xLnPfmSOgr4

円が正解です

ざっくりいうと丸い形のことを円といいます。
円は中心となる点からの距離が等しい点の集まりということもできるので、コンパス一つで書くことができます。
また、余談ですが試験会場にコンパスを持っていけない……ということが多々あるので、コンパスがなくてもフリーハンドで円をそれっぽくかける練習しておくと、試験中にときどき役にたったりします。

中心が正解です

中心はその名のとおり、円の真ん中にある点であり、円に関する問題では必ずと言っていいほどよく使用されます。
中心に関する性質としては、中心から円周上にぶつかるように引いた直線(又は線分)の長さは半径の長さと必ず同じになるということは知っておきましょう。
また、他の選択肢については以下の通りです。

• ・焦点……楕円の場合に中心と似た性質を持つ点のペア
• ・中点……一つの線分(直線)の長さを半分に区切る点

半径が正解です

円の中心から端っこまでの長さは半径と呼ばれており、それをさらに2倍の長さにしたものが直径と呼ばれます。
算数や数学では、同じ円上の半径の長さはどれも等しくなることを用いて二等辺三角形を見つけるという流れで使われることが多く、大切なので、半径は覚えておきましょう。

弧が正解です

弧と弦の違いは以下の通りです。

• 弧……円周上に沿って結んだ曲線
• 弦……円の内部を通る線分

扇形が正解です

円の半径を2つ作成し、それに沿って円を切り取ると、扇を広げたような形になるので、おうぎ形と呼ばれます。
おうぎ形は円の一部分であることから、円周、面積は円の円周、面積との比をそれぞれとればいいです。

• 円周:2×π×(半径)×(中心角)/360
• 面積:π×(半径)²×(中心角)/360

垂直になるが正解です

証明が感覚的でないため、知らないと見落としやすいのですが、円の接線は接点において半径と必ず垂直になるという特徴があります。問題にも時々出てくることなので、確実におさえておきましょう。

常に等しいが正解です

円周角は知らないと中々出にくい性質であるので、適用出来る図とまとめて覚えておくといいでしょう。

円内部の等しい角度が正解です

円周角については円があったときに等しい角度を求めるのに利用される定理であり、これは言葉よりも以下の図で理解した方が手っ取り早いです。

また、円周角の定理の証明については、補助線として半径を引いて作成した二等辺三角形を用いて行います。

2倍が正解です

中心角の大きさは円周角の大きさの必ず2倍になります。
このことは覚えておけば良いようにも思えますが、もし証明するなら以下のように流れで考えると証明できます。

1. 円の中心から円周角に向けた直線を引く
2. 中心角は1のプロセスで作成された2つの三角形の外角の和であることを確認する。
4. 2で注目した三角形は半径の等しい二等辺三角形であることを確認する。
5. 2つの2等辺三角形の外角の和は円周角の2倍となることを確かめる。