一問一答の一歩

線分が正解です

まっすぐの線は厳密には3種類あり、具体的には以下のような違いがあります。

• 線分……開始の点と終わりの点の両方が決まっている。
• 半直線……開始の点と終わりの点のうちの片方が決まっている。
• 直線……長さや位置の制限のないまっすぐの線

垂線が正解です

垂直とは角度が90°のことをさし、なす角が垂直である直線のことをそのまま垂線と呼びます。
また、他の選択肢に関しては以下の通りです。

• 中線……中点を通る直線
• 二等分線……角度を半分にするように分割する直線

二等分線が正解です

二等分線は角度を半分にするように分割する直線です。
また、他の選択肢に関しては以下の通りです。

• 中線……中点を通る直線
• 垂直線……元の直線とのなす角が90°である直線

中点が正解です

点と点のちょうど真ん中にある点であるので中点と呼ばれます。
問題文中で使用する場合は中点であることがサラッとかかれていて、そこから下記の状況であることを用いて問題を解く時のヒントにしていくので合わせておさえておきましょう。

• (中点の左側)=(中点の右側)

線対称が正解です

図形の問題においても、二等辺三角形は線対称な図形であるので、片側のことが分かれば自動的にもう片方の性質も分かるときもあるので、知っておくと楽になることもあります。

点対称が正解です

一つの平面上で線を中心に回転させることは出来ないので点対称であることが分かるはずです。
また、平面図形で点対称はあまり出ては来ないのですが、関数(グラフ)の分野で奇関数と呼ばれるものが点対称であることをたまに利用すること があります。

点対称が正解です

対象の中心は点のことを指しています。そのため、線対称ではなく、点対称に使われるものであると予想できるはずです。

線対称が正解です

軸は基本的に直線です。
直線を用いて対称であることを見ているのは線対象だけです。

平行四辺形が正解です

四つの辺が必ずいずれかの他の辺と等しくなるので、平行四辺形と呼ばれています。
また、平行四辺形には下記の4つの性質があるので、余裕があれば合わせて知っておくといいでしょう。

1. 2組の対辺が平行である
2. 2組の対辺の長さが等しい
3. 2組の対角の大きさが等しい
4. 2組の対角線の交点は必ず各対角線の中点となす

ひし形が正解です

ひし形のひしは菱(ひし)と呼ばれる植物の葉っぱに似ていることからとられています。 ひし形の特徴は以下の3つです。

1. 全ての辺の長さが等しい(定義)
2. 2つの対角線は必ず垂直に交わる
3. 面積：(対角線)×(対角線)/2

また、正方形はひし形の特殊形とされています。

正多角形が正解です

正多面体は空間図形の概念です。
また、受験には役に立ちませんが、辺の数Nが整数でない場合も実は存在はしているので、興味があれば見てみるといいでしょう。

斜辺が正解です

直角三角形の直角の部分を下においてあげると、水平方向と垂直方向に一辺がそれぞれ出来上がります。
このとき、直角の反対側にある辺の方向は斜め向きであるかのように見えるので 斜辺と呼ばれています。

180°が正解です

歪みのない平面を扱うユークリッド幾何では、平行線の同位角は必ず等しくなります。
そのため、三角形の一つの辺を反対側の角を作っている点を通るように平行移動させると、3つの角の合計が180°になっていることが分かると思います。

360°が正解です

四角形は対角線を引くことによって2つの三角形に分けることができます。
歪みのない空間において、三角形の内角の和は必ず180°になるので、四角形の内閣の和は180を2倍して360°になることが分かります。
余談として、2π[rad]という角度の表し方は弧度法と呼ばれる角度の表し方でよく見る表記であり、通常の角度(度数法)の360°に対応しているのですが、2π°ではなく2π[rad]が正しく、単位が異なっているので誤りです。

180°が正解です

多角形の一点からは隣合う頂点以外のところに対角線を引くことができます。
そのため、多角形の数字が1だけ増えると、対角線によって分割することで作成できる三角形の数が1だけ増えるので180°だけ増加します。

一つの角から他の角に対角線を引くが正解です

ちなみに内角、外角の和から外角を引くのは外角の和が360°になることの証明、 全ての辺を一つの頂点に平行移動は三角形の内角の和が180°になることの証明です。

対角線が正解です

向かい合う頂点は反対側の角であるともいえるので、対角線と呼ばれています。
対角線については以下のことを知っておくといいでしょう。

• 〇四角形の対角線の性質について
• 対角線の交点は各対角線の中点となる図形……平行四辺形
• 対角線が垂直に交わる図形……ひし形
• 〇対角線の本数の考え方
• ・n角形の対角線の本数……n(n-3)/2
なお、対角線の本数については、公式を覚えるよりも、考え方を知っておいたほうが定着しやすいので、追加でリンクを共有しておきます。

【簡単公式】多角形の対角線の本数が5秒でわかる求め方 | tomo

多角形の対角線の本数を求める公式を紹介します。よかったら参考にしてください。



https://text.tomo.school/diagonal-number/

対頂角が正解です

常に反対側にある角であることから対頂角と呼ばれており、対頂角の関係にある角度は常に等しくなる性質があります。
等しくなる理屈としては(隣の角度)との角の大きさの和が必ず180°になることを用いればよく、具体的に式で表すと以下の通りです。

• (もとの角)+(隣の角)=180°……(1)
• (対頂角)+(隣の角)=180°……(2)

(1)-(2)より

• (もとの角)－(対頂角)=0

移項すると以下の通り証明出来ます。

• (もとの角)=(対頂角)

平行線の同位角は等しいが正解です

高校まで扱う平面図形は「ユーグリッド幾何」とも呼ばれています。(これは覚えなくていいです。) ユーグリッド幾何は平行線公理により「2つの平行線の同位角は等しい」が成り立つ状況を仮定しており、他の性質から導出することはできないのでそのまま覚えましょう。
※厳密には第5公準や平行線公理の対偶であるが、名前は中高の数学のテストにでないので説明の便宜上同じものとする
錯角、同位角が等しくなるのは平行線の場合のみなので、勘違いしないようにしましょう。

外心が正解です

外心は外接円の中心であり、外接円があるときに使用しうる性質は以下の通りです。

• ・正弦定理
• ・円周角の定理
• ・接弦定理
• ・内接四角形の定理

重心が正解です

重心とは、数学よりは物理で大事になってくる概念であり、重心の1点のみを支えてあげれば、倒れずに支えられる点のことをいいます。
また、三角形の重心の数学的な性質を挙げると以下の通りです。

• ・重心は各中線(頂点から対辺の中点を結んだ直線)を2:1に分割する。

円の接線は半径と垂直が正解です

内接円が与えられている三角形の面積は以下の手順で求めることができます。

1. 内接円の中心から頂点に補助線を引く
2. 円の接線を底辺、半径を高さとして3つの三角形の面積を計算する。

また、高校で習う「正弦定理」を用いる状況は内接円ではなく、外接円です。

直角三角形の辺の比を求めるが正解です

三平方の定理は直角三角形の長さの比を求めるための式であり、以下のような形で表されます。

• (斜辺)²=(底辺)²+(高さ)²

三平方の定理は証明も知っていればそこまで難しくないのですが、式の形が非常にシンプルで覚えやすいので覚えてしまっても問題ないでしょう。
また、高校入試や大学入試には一切でないのですが、三平方の定理をさらに発展させたものがフェルマーの最終定理と呼ばれています。

面積が正解です

面の大きさを2つのかけ算の答えである積で表していることから面積と言われます。
また、面積の基準は縦が1cm,横が1cmの正方形状のタイルを何枚敷き詰めることができるかを用いて考えられ、単位はcm²がよく使用されます。

平方メ一トルが正解です

広さを示す面積の基準は1辺が1cmの正方形が使用されており、方は「四角形の」という意味を持ちます。
また、平面における広さを表しているので、平という字が使用されて平方とされています。
なお、右上にある添え字の2は同じものを2回かけているという意味があり、単位がcmであるものを2回かけていることからcm²とされています。

• cm×cm=cm²

1辺×1辺が正解です

正方形の面積も長方形と同じように、1辺が1cmのタイルが何枚入るかを用いて考えます。
ただし、正方形の場合は1つの辺が分かってしまえば、縦の長さも横の長さも同じであることが分かっているので、1辺×1辺で問題ないといえます。

縦×横が正解です

面積は1cmの正方形のタイルを何枚敷き詰められるかで考えます。
長方形の場合は横に敷き詰めてある正方形のタイルの数はどの行を見ても必ず等しくなります。
そのため、いちいちどの行に何列あるかを数えなくとも、1列分のタイルの数が分かっていればかけ算で求められます。
縦のタイルの数と横のタイルの数はそれぞれ縦の長さ、横の長さに該当するので解答の通りとなります。

底辺×高さが正解です

平行四辺形の高さとなる直線にそって平行四辺形を2つに切って、左にずらすと、辺を必ず重ねることができます。
辺を重ねた後は縦が高さに該当し、底辺の長さが横に該当するので面積公式は解答の通りになります。

底辺×高さ/2が正解です

三角形の高さを示す直線で三角形を2つに区切ると、2つの直角三角形が現れます。
そして、各直角三角形は長方形を半分にしたものであることが感覚的に分かると思います。
そのため、全体の三角形の面積も長方形の面積の(底辺)×(高さ)の半分になることが分かるはずです。