一問一答の一歩

両方とも適切が正解です

三角関数を含む最大、最小の考え方は以下の2通りです。

• 解法1：三角関数をtに置き換える(その際-1≦t≦1となることに注意)
• 解法2：関数をそのまま微分する(数Ⅲの知識を用いる)

個人的には長期的な目で見た時に解法の浮かびやすさから微分で解けるようにしておくことをおすすめしています。

• 関数の最大最小の問題→とりあえず微分する

※微分で解く方法は長期的にはメリットは大きいのですが、短期的には勉強量が増えることや三角関数の微分の計算はまあまあ複雑であることから慣れるまでが大変というデメリットもあります

-1≦t≦1が正解です

状況は一見複雑ですが、tは三角関数の値を置き換えたものであるので、sinxの上限は1であり、下限な-1であることから上記の解答の通りになります。
三角関数の大小を変数変換を用いて解く場合は、以下の手順になることから、本題の内容の把握は重要になります。

1. sinx=tと変数変換する
2. tの定義域が-1≦t≦1であることを確認する
3. 平方完成した上で、定義域を用いて最大最小を求める。

cosxが正解です

三角関数の導関数は以下の通りであり、証明の大変さの割にはキレイな形で覚えやすいため、そのまま覚えてしまいましょう。

• ddxsinx=cosx
• ddxcosx=-sinx

-sinxが正解です

三角関数の導関数は以下の通りであり、証明の大変さの割にはキレイな形で覚えやすいため、そのまま覚えてしまいましょう。

• ddxsinx=cosx
• ddxcosx=-sinx

商の微分法で導出が正解です

tanxの導関数の導出はsinx,cosxの微分と商の微分を以下のように利用して行います。

• ddxtanx
• =ddx(sinxcosx)
• =(sinx)'cosx-sinx(cos)'cos²x
• =cos²x+sin²xcos²x
• =1cos²x

sinをネイピア数eの実数乗に変換するが正解です

また、覚える必要は全くないのですが、sinを無理矢理変換してもネイピア数eの実数乗には変換できない(虚数乗になる)ので不適切です。