thumbnail 一問一答の一歩

問題1

一般的にDで表される、二次方程式の実数解の個数を示したものはどれか

判別式が正解です

二次方程式ax2+bx+c=0の判別式Dは以下のように表されます。

  • D=b2-4ac
また、判別式は解の公式のルートの中身と以下のように等しくなっています。
  • x=-b±√b2-4ac2a
判別式の中身が負の数になるということは2乗すると負の数になるということなので実数にはならず、実数解は存在しないと分かります。
また、一般的にDが使用される理由としては判別式の英語表記「discriminant」の頭文字を取っているためといえます、

問題2

判別式Dが0より大きいときの2次関数とx軸の位置関係

必ず2点で交わるが正解です

まず、一般的な二次方程式0=ax2+bx+cの解は、二次関数について以下の2つが同時に成り立っている状況ということができます。

  • y=ax2+bx+c
  • y=0
これらを同時に満たしている状況としては放物線とx軸の共有点であるといえます。
また、判別式Dは解の公式におけるル－トの中身と同じになるため、D<0の場合は実数解が2つあるといえます。そのため、放物線とx軸の共有点は2つになります。

問題3

判別式Dが0のときの2次関数とx軸の位置関係

頂点がx軸に接するが正解です

まず、一般的な二次方程式0=ax2+bx+cの解は、二次関数について以下の2つが同時に成り立っている状況ということができます。

  • y=ax2+bx+c
  • y=0
これらを同時に満たしている状況としては放物線とx軸の共有点であるといえます。
また、判別式Dは解の公式におけるル－トの中身と同じになるため、D=0の場合は実数解は以下の一つだけどなります。

x=b2a

問題4

判別式Dが0より小さいときの2次関数とx軸の位置関係

交わらないが正解です

まず、一般的な二次方程式0=ax2+bx+cの解は、二次関数について以下の2つが同時に成り立っている状況ということができます。

  • y=ax2+bx+c
  • y=0
これらを同時に満たしている状況としては放物線とx軸の共有点であるといえます。
また、判別式Dは解の公式におけるル－トの中身と同じになるため、D<0の場合はル－トの中身がマイナスとなります。しかし、二乗して負の数になる実数は存在しないので、実数解は存在しません。そのため、放物線とx軸の共有点は存在しないといえます。

問題5

2図方程式の判別式は解の公式のどの部分を取り出したものは

ルートの中身が正解です

二次方程式ax2+bx+c=0の判別式Dは以下のように表されます。

  • D=b2-4ac
また、判別式は解の公式のルートの中身と以下のように等しくなっています。
  • x=-b±√b2-4ac2a
判別式の中身が負の数になるということは2乗すると負の数になるということなので実数にはならず、実数解は存在しないと分かります。

問題6

(x-α)(x-β)<0の解としてありうるものはどれか?

α＜x＜βが正解です

二次不等式の解については以下の通りです。

  • (x-α)(x-β)<0……α<x<β
  • (x-α)(x-β)>0……x<α､又はβ<x
この関係についてはグラフを書いてみて考えるとイメージしやすいです。

問題7

(x-α)(x-β)>0の解としてありうるものはどれか?

x＜α,β＜xが正解です

二次不等式の解については以下の通りです。

  • (x-α)(x-β)<0……α<x<β
  • (x-α)(x-β)>0……x<α､又はβ<x
この関係についてはグラフを書いてみて考えるとイメージしやすいです。

問題8

-(x-α)(x-β)<0の解としてありうるものはどれか

x＜α,β＜xが正解です

二次不等式に関しては、以下のように両辺に-1をかけることでx2の係数も符号を＋にすると分かりやすいです。

  • -(x-α)(x-β)<0
  • 両辺に-1をかけると
  • (x-α)(x-β)>0
また、x2の係数も符号が＋である二次不等式の解については以下の通りです。
  • (x-α)(x-β)<0……α<x<β
  • (x-α)(x-β)>0……x<α､又はβ<x
この関係についてはグラフを書いてみて考えるとイメージしやすいです。。

問題9

-(x-α)(x-β)>0の解としてありうるものはどれか

α＜x＜βが正解です

二次不等式に関しては、以下のように両辺に-1をかけることでx2の係数も符号を＋にすると分かりやすいです。

  • -(x-α)(x-β)>0
  • 両辺に-1をかけると
  • (x-α)(x-β)<0
また、x2の係数も符号が＋である二次不等式の解については以下の通りです。
  • (x-α)(x-β)<0……α<x<β
  • (x-α)(x-β)>0……x<α､又はβ<x
この関係についてはグラフを書いてみて考えるとイメージしやすいです。

問題10

等式の変形において、両辺に同じ数を引くことによりあたかも頂の符号が反対になって移動したように見える現象

移頂が正解です

イコ－ル記号が「左が問題で右が答え」ではなく、「イコ－ル記号の左とイコ－ル記号の右は同じものを示している」と考えると方程式は理解しやすくなります。
例をあげると以下の通りです。

  • 8-5=1+2
  • ↑右が答えを示しているわけではなく、計算するとどちらも3であるのでこのめんどくさい書き方をしてもいい。
  • 上記の等式の両辺から5を足すと下記の式になる
  • 8-5+5=1+2+5
  • 8+(-5+5)=1+2+5
  • 8+0=1+2+5
  • 8=1+2+5
計算結果をみるとあたかも頂が符号を変えて移動しているように見えることから移頂と呼ばれています。

問題11

高校数学において3次方程式
　　　ax3+bx2+cx+d=0
に対する一般的な解法に用いる方法はどれか

因数定理が正解です

3次方程式の解法については以下の通りです。

  • 原則:因数定理を使用
  • xn=0の場合:ド・モアブルの定理でもできる
因数定理を用いた三次方程式の解法の概要は以下の通りです。
  1. xに整数を順番に整数を代入し、強引に解αを一つ見つける
  2. 因数定理を用いて、(x-α)(xの多項式)に因数分解する。
    ※(xの多項式)は元の方程式を(x-α)で割って求める
  3. (xの多項式)=0の方程式を頑張って解く
3次方程式や4次方程式、5次方程式などの高次方程式に関しては現代では「ガロア理論」という考え方から考察されているのですが、一般的に解こうとすると、複雑な式の複素数が出てしまい、高校生は基本解けない知識を要する問題となってしまうので、解けれるようにするために必ず一つの解は力技で見つけられるようになっています。
また、ガロア理論は試験では全く役に立ちはしませんが、概要が興味ある方のためにリンクを共有しておきます。

問題12

二次方程式の解と係数の関係の導出を行うには、何を行うのがよいか。ただし選択肢中のα、βを方程式の解とする

(x-α)(x-β)を展開が正解です

α、βを解とする二次方程式は以下の通りです。

  • (x-α)(x-β)=0
そして、左辺を展開すると以下の通りになります。
  • x2+(α+β)x+αβ=0
そのため、解から係数が導出することができます。
  • ・(xの一次の項の係数)=α+β
  • ・(定数項)=αβ

問題13

二次以上xの方程式の解を一つがαであるとき、方程式は必ず以下のように変形できる性質は何とよばれるか
　　(x-α)(xの多項式)=0

因数定理が正解です

因数定理は三次方程式を解く際に重要になる定理の一つで、問題と解く際には以下の手順の一部で使用されることが多いです。。

  1. xに整数を順番に整数を代入し、強引に解αを一つ見つける
  2. 因数定理を用いて、(x-α)(xの多項式)に因数分解する。
    ※(xの多項式)は元の方程式を(x-α)で割って求める
  3. (xの多項式)=0の方程式を頑張って解く