一問一答の一歩

対数関数が正解です

各選択肢について表すと以下の通りです。

• ・三角関数……y=sinx y=cosx y=tanxの総称
• ・指数関数……y=a^x
• ・対数関数……y=log_ex

【日常数学】logが使えると優秀になれる!?対数とは何か?

対数を知っていますか?
「x=log(a)bのときのxのこと」だとか「指数関数の逆数」なんて説明を学校の授業ではされますが、これでは果たして何のために考えられた数なのかさっぱりわかりませんよね。
実は対数とは、日常の多くのデータに利用されています。
例えば地震の単位、音量を表すデシベル、その他もろもろ。
どういうときに利用されているのかというと「数値が巨大で扱いにくい場合」「数値の範囲が広すぎて扱いにくい場合」などです。
こんなときに、対数は大きな値を圧縮してくれるので便利です。

また、人間の感覚も対数で紐解くことができるそうです。
ものを持った時に感じる重さ、温度、辛さ….
このような感覚の度合いは対数で数値化することができるのです……！

今回は、対数がどのように日常の生活で利用されているのか見ていきましょう！

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#数学#対数

https://www.youtube.com/watch?v=E6tLh8jj_v4

1が正解です

累乗の定義は「1に対して同じ数字を複数回かけた数字」とされています。
そのため、0乗は1に対して特に何もかけていないのでそのまま1となります。

1e²が正解です

指数の負の数乗と分数乗はこんがらかりやすいのですが、これに関しては以下のようになることを覚えてしまいましょう。

• 負の数乗……分数にする
• 分数乗……累乗根にする

• e²×e^-2=e^2-2
• e²×e^-2=e⁰

累乗根が正解です

a^1/2について、指数法則により以下の等式が成り立つことが予想できるはずです。

• (a^1/2)²=a
つまり、a^1/2は2乗したらaになる数であるといえるため、aを分数乗すると、aの累乗根になります。

底をlog_底(真数)乗すると(真数)になるが正解です

対数記号の定期はどうしても関係性がつかみにくいので、分かりやすい具体例で考えるといいでしょう。
参考までに、私は以下の例でよく考えています。

• log₂8=3であり、2³=8である。

自然対数が正解です

常用対数の対数が10であることから常用対数ではないと理解して正解すればそれでいいです。
なお、底がネイピア数の対数は微分において結果が分数になるため重要に役割を果たします。

loa_eabが正解です

対数の和は、整数同士になるものをイメージするとわかりやすいです。

• log₂4+log₂8
• =2+3
• =5=log₂32
• =log₂4×8

log_e(a/b)が正解です

対数の和は、整数同士になるものをイメージするとわかりやすいです。

log₂8-log₂4

=3+2

=1

=log₂2

=log₂84

blog_eaが正解です

対数の累乗は、整数同士になるものをイメージするとわかりやすいです。

• log₂4³
• =log₂64
• =6
• =2×3
• =3×log₂4

log_eb/log_eaが正解です

底の変換公式に関しては、分数表記した場合に元々下にあったやつはそのまま下であると覚えるといいでしょう。
使う状況は少ないですが、常用対数や自然対数に直して計算すると都合のいいときに使用されます。

(0.1)が正解です

指数の定義が1に対して同じ数字を何回かけたものであるかを示しているので、0<aの場合にはx=0のときは以下のようになります。

• a⁰=1

0<yが正解です

指数関数において、aの値をいくら小さくしても分数になるだけであり、負の数にすることはできないので、oよりも大きいと言えます。