一問一答の一歩

放物線が正解です

関数ごとのグラフの形は以下の通りです。

• ・直線……一次関数のグラフの形
• ・放物線……二次関数のグラフの形
• ・双曲線……反比例のグラフの形

y=ax²が正解です

y=ax+bは一次関数の式、x²+y²=a²は座標平面上に円を描くためのxとYの関係式であり、関数の式ですらありません。

下に凸が正解です

下に凸になる二次関数の例としては以下のものがあります

• y=x²

この放物線のグラフは頂点を境にして以下のように値が増減します。

• ・xが頂点のx座標より小さい……xが増えるほどyの値は単調減少する。
• ・xが頂点のx座標より大きい……xが増えるほどyの値は単調増加する。

これらの結果を座標平面上に記載した結果、頂点が下向きに出っ張っているような形になることから下に凸と呼ばれています。

y=(1/4p)x²が正解です

一般的な数学の教科書の「二次曲線※二次関数ではない」の単元には以下のように書かれています

• y²=4px

しかし、個人的には知っている知識と結びつけた法が理解しやすいので以下のような形で理解することを勧めています。

• y=(14p)x²

定義域が正解です

定義域と値域については似た用語ですが、以下のように異なっています。

• ・定義域……説明変数xの値の範囲
• ・値域……被説明変数yの範囲

頂点の座標が正解です

y切片は二次関数の一般形
y=ax²+bx+c
のcの値と同じになります。
標準系に直すと
y=a{x-(頂点のx座標)}²+(頂点のy座標)
となるので頂点を求めることができます。

xの1次の係数bが正解です

pの部分にはbを半分にした値が入るので、bの値を元にして平方完成を行います。

cが正解です

qは頂点のy座標の値です。また、14a+qは焦点のy座標の値です。
なお、焦点は数学Ⅲの放物線にでてくる用語で放物線の軸に平行な光をあてて光が反射したときに一点に集まると言われている点です。

標準形が正解です

2次関数の一般形とはy+ax²+bx+cのことです。

標準形が正解です

標準形のy=a(x+p)²+qの座標は定数(p,q)をそのまま読めばよいので楽に判断できます。一般形で与えられた場合は標準形にするために平方完成を行います。

標準形が正解です

放物線線の一般形と標準形の表記は以下の表記です。

• 一般形:y=ax²+bx+c
• 標準形:y=a{x-(頂点のx座標)}²+(頂点のy座標)

また、放物線の軸の方程式は以下のようになっています。

• x=(x座標の頂点)

そのため、頂点のx座標が一目で分かる標準形の方が軸の方程式の導出には使いやすいです。

(0,1/4a)が正解です

放物線の焦点とは、放物線に光を当てて反射させたときに、反射した光が必ず通る点のことをいいます。(焦点は数学Ⅲの内容で数学Ⅰのテストにはでません。)
放物線の頂点が原点であり、軸がy軸と平行であるとき、焦点のy座標をpとすると
x²=4py
と表されるので、式変形をすると解答にたどり着きます。

y=-1/4aが正解です

放物線の準線とは、焦点から放物線に引いた線分の長さと放物線から下向きに引くと長さが必ず同じになる点のことをいいます。
準線の覚え方に関しては、焦点と反対向きに進んだ場所にある直線と私は覚えて対処していました。

微分が正解です

裏技的な方法ですが、微分は接戦の傾きを求めるための変換であるので、頂点のx座標をより少ない計算量で求めることが出来ます。

• f(x)=ax²+bx+c

上記の式に対してxで微分することによる各頂の変換方法は以下の通りです。

• ax²→2ax
• (系数にxの次数である2をかけ、xの次数を一つ下げている)
• bx→b
• (系数にxの次数である1をかけ、xの次数を一つ下げてx⁰=1となっている)
• c→0
• (定数項は機械的に0に変換する)

そのため、f(x)を微分したことによる変換結果をf'(x)とおくとf'(x)は以下のように表されます。

• f'(x)=2ax+b

この変換結果が0と等しい時のx座標では必ず頂点になるので、以下の方程式の解を求めれば頂点のx座標を求めることができます。

• 2ax+b=0

機械的な変換と1次方程式のみで頂点のx座標を導出することができるので、頂点のx座標x=b/2aを覚えるくらいなら慣れれば数秒でできるこの上記の計算方法を覚えましょう。