一問一答の一歩

xの値が決まるとyの値の一つに決まることが正解です

関数の条件は以下の通りです。

• ・異なる2つの変数があり
• ・一つの変数の値が決まった時にそれに対応するもう一方の値が決まること

また、学校で習う関数は関係式がありますが、実は関数に関係式は必ず存在する必要はありません。
また、勘違いしやすいのですが、以下のように関係式が定められていても必ずしも関数とは限らないので注意する必要はあります。

• 座標平面上に半径が5の円を描く関係式
• x²+y²=25

※上記の式は仮にx=3の時にyが4の可能性も-4の可能性もあり、一つに確定しない。

2パターンが正解です

3直線が三角形を作らない状況は以下の2つです。

• ・3直線が同じ一点で交わっている状況
• ・平行な関係にある直線が存在している状況

知っておくと、場合分けのパターンを判断しやすくなるメリットがあります。

x²+y²=r²が正解です

三平方の定理より、x²+y²は原点からの距離であるといえます。
これは、原点からの距離が一定な点の奇跡であるといえるので、原点を中心とした円といえます。
余談ですが、中心がP(p_x,p_y)で半径がrの円の方程式は以下のように表されます。

• (x-p_x)²+(y-p_y)²=r²

x²/a²+y²/b²=1が正解です

楕円は以下の円の方程式が元になっています。

• x²+y²=a²
• x²a²+y²a²=1

ここで楕円は上下方向、又は左右方向に圧縮するので、y軸方向をa² b²倍した以下の方程式になります。

• x²a²+y²b²=1

2点からの距離の和が一定が正解です

楕円については2次曲線の範囲であり、2次曲線の定義については以下のようになっています。

• ・放物線の定義……焦点と準線の距離が等しい
• ・楕円の定義………2点からの距離の和が一定
• ・双曲線の定義……2点からの距離の差が一定

合成関数が正解です

円の接線の証明方法として考えられるものは以下の3つがあります。

• ・半径の傾きを求める方法
• ・法線ベクトルを用いる方法
• ・微分を用いる方法

これら3つある中でも、微分にある程度慣れていれば「接線の傾き→微分」とすぐに連想しやすいことから、管理人は微分による導出をおススメしています。

y=(r²-x²)^1/2

と変形して、合成関数の微分により、導関数をdy/dxと表すと、

dy/dx=-2x×(1/2)×(r²-x²)^-1/2

右辺を整理すると以下のようになります

dy/dx=-x/√r²-x²

ここで、√r²-x²=yであるので、右辺に代入すると以下のようになります。

dy/dx=-x/y

そのため、原点を中心とする円周上の点P(p_x,p_y)における接線の方程式は傾きが-p_x/p_yで点Pを通る直線であることから以下の通りです。

y=-p_x/p_y(x-p_x)+p_y

p_yy=-p_xx+p_x²+p_y²

p_xx+p_x²+p_yy=p_y²