一問一答の一歩

奇関数が正解です

nを整数とし、原点を通る以下の関数を想定します。

• y=xⁿ

このとき、nの値で場合分けすると、グラフの形はそれぞれ以下のような特徴を持つことからそれぞれ奇関数､偶関数と呼ばれています。

• nが奇数:原点に対して点対称→奇関数
• nが偶数:y軸に対して線対称→偶関数

また、内容としてはレベルが高いのですが、奇関数と偶関数を用いた興味深い積分の考え方があったので、リンクを共有しておきます。

逆関数が正解です

相互に逆の変換を行うことから、逆関数と呼ばれています。 問題であげていない例としては他には以下のようなものがあります。

• ・指数に対する対数
• ・比例に対する反比例
• ・sinxに対するarcsinx

df(x)dx×g(x)+f(x)×dg(x)dxが正解です

積の微分法の計算の仕方については私は以下のポイントに気をつけて理解していました。

• ・項が2つに増えている
• ・それぞれの項では片方の関数のみを微分する

ただ、積の微分の公式に関しては慣れの要素が大きいので、なるべく計算練習を多めにやるといいでしょう。

df(x)dx×g(x)－f(x)×dg(x)dxが正解です

商の微分法に関しては、公式が一見ややこしいので、分子と分母に分けて理解するといいでしょう。
商の微分法の分子のポイントは以下の通りです。

• ・項が2つになっている。
• ・二つの項はマイナスで繋がっている
• ・(分子のみを微分した項)－(分母のみを微分した項)

また、私が微分の計算に慣れていなかった時は以下の計算と商の微分の結果が同じになることを用いて公式の確認を行っていました。

• (x^－1)'=－x^－2

g²(x)が正解です

商の微分法の分母はもとの関数の分母の2乗となり、こちらも油断すると2乗するのを忘れるというミスが発生しやすいので気をつけましょう。
また、私が微分の計算に慣れていなかった時は以下の計算と商の微分の結果が同じになることを用いて公式の確認を行っていました。

• (x^－1)'=－x^－2

0<d²f(x)dx²が正解です

微分した関数と元の関数には以下の関係があります。

• df(x)dx><0→f(x)の値は減少する
• 0<df(x)dx→f(x)の値は増加していく

そのため、2階微分と接線の傾きの関係は以下のようになります。

• d²f(x)dx²<0→グラフの傾きは減少する→下に凸
• 0<d²f(x)dx²→グラフの傾きは増加していく→上に凸

また、問題を解いている際にどっちが下に凸であったかど忘れした場合にはy=x²やy=－x²のような分かりやすいものを2回微分して符号を確認するといいでしょう。

積の微分が正解です

部分積分法の式は関数同士の積の場合に使用することができ、積の微分法から以下のように作成することができます。

• ddx{f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

両辺をxで積分すると以下の式になる。

• f(x)g(x)=∫f'(x)g(x)+∫f(x)g'(x)

移項すると、下記のように部分積分法の公式が導けます。

• ∫f'(x)g(x)=f(x)g(x)ー∫f(x)g'(x)

合成関数が正解です

置換積分法は漢字の通り変数を置換えて楽に積分をするようにする工夫です。
元々のxとyの関係に加え､変数変換による変数同士の関係と複数の変換を挟んだ状態で積分を行うことから合成関数に対応しているといえます。
また、置換積分法は微分の表記を(dt/dx)と表記すると以下のような形になり公式の形が非常にしっくり来やすいです。
∫f(t)(dtdx)dt