一問一答の一歩

直線が正解です

関数の種類ごとにグラフが描く図形はある程度決まっており、具体的には以下の通りです。

• 直線……一次関数のグラフの形
• 放物線……二次関数のグラフの形
• 双曲線……反比例の形

中学校の関数についてのまとめはこちらを確認するとよいでしょう。

y=ax+bが正解です

選択肢にでのくるものは、よく出てくる関数であり、種類も多いことから知識が混ざりやすいので注意しましょう。
なお、各選択肢について述べると以下の通りです。

• a=xy……反比例の式
• y=ax+b……一次関数の式
• y=ax²……二次関数の式

y=(傾き){x－(1点のx座標)}+(1点のy座標)が正解です

y=(傾き){x－(1点のx座標)}+(1点のy座標)に代入することによって一次関数の式を導出することができます。
y=(傾き){x－(1点のx座標)}²+(1点のy座標)は2次関数を求める公式です。

(na+mb)(m+n)が正解です

内分点の公式については以下の通りです。

• 座標での表記：(na_x+mb_xm+n,na_y+mb_ym+n)
• ベクトル表記：(na+mb)(m+n)

ただ、どちらにnがきてどちらにmが来るのか分かりにくいので、導出方法を覚えた方がいいです。
ベクトルを用いて導出する場合はどちらかの点に移動して、その後に直線ABにそって移動すると考えた方が忘れにくいです。

• 点Aに移動:a
• m:nに内分するようにABに沿って移動:m(b-a)(m+n)

そのため、上記2つのベクトルによる移動を組み合わせると以下のようになります。

• a+m(b-a)(m+n)
• =(m+n)a+mb-ma(m+n)
• =(m+n-m)a+mb(m+n)
• =na+mb(m+n)

t+s=1が正解です

問題の関係については割と覚えやすい形なので、関係の式を丸暗記しても作り方を覚えてすぐ作れるようにしてもどちらでもいいように思えます。
また、理屈で説明すると以下の通りです。 まず、点Aから点Bまでの方向ベクトルは以下のように表すことができます。

• b-a

この時、直前AB上の点を表そうとすれば、点Aまで移動して、ベクトル(b-a)のの方向に数倍移動したものと考えられるので、任意の数字tを用いて以下のように表すことができます。

• a+t(b-a)

この式を変形すると、以下の通りになるので、解答の通りとなります。

• (1-t)a+t(b-a)

方向ベクトルが正解です

下記の直線の方程式ををベクトルを用いた方程式の形で表すと以下のように考えることができます。

• y=2x+3

1. 原点からy切片に対して移動を行う
2. y切片から直線に沿うように移動する

これをベクトルを用いて表現すると以下の通りになります。

1. 原点からy切片の位置に該当するb=(0,3)だけ移動する
2. 直線の方向であるa=(1,2)だけ移動する。

その結果直線の方程式y=2x+3上の任意の点の位置ベクトルをpとしたとき、ベクトル方程式は以下のように表すことができます。

• p=ax+b

そして、pは直線の方向を示していることから方向ベクトルと呼ばれています。

(a_x+b_x+c_x3,a_y+b_y+c_y3)が正解です

三角形の重心の座標については以下の通りであり、覚えやすい形であるので、覚えてしまっても問題ないでしょう。

• 座標での表記：(a_x+b_x+c_x3,a_y+b_y+c_y3)
• ベクトル表記：a+b+c 3

一応導出についてもそんなに難しくなく、辺ABの中点と頂点Cを1:2に内分けるすると考えれば計算できます。
また、他の選択肢についても、一応説明すると以下の通りですが、式自体は入試で一切使うことはないので間違えても覚えないでください。

• |b-c|a+|c-a|b+|a-b|c |a-b|+|b-c|+|c-a|……内心の位置ベクトル
• a×(b×c)……内積ではないので高校数学には存在しません。

(a_x+b_x2,b_x+b_y 2)が正解です

図形と方程式の問題にさらっとベクトルが出ていますが、基本的にベクトルを知らなくても消去法で解けるような問題設計にしています。
そして、線分ABの中点についての表記は以下の通りです

• 座標を用いた表記:(a_x+b_x2,b_x+b_y 2)
• 位置ベクトル表記:a+b2

AとBの真ん中にあたる点であるので、まずx座標についてはAとBのちょうど中間の値であることから、足して2で割ればいいといえます。
これはy座標に関しても同じことがいえるので、同様の理屈から解答の通りの座標の表記が成り立ちます。

三平方の定理が正解です

座標平面において、x軸とy軸は垂直であるので、座標平面上の直線はx軸と平行な直線、y軸と平行な直線を用いることで必ず直角三角形を作ることができます。
直角三角形を作成することができれば、三平方の定理を用いて長さを求めることができることから、三平方の定理を用いて導出します。

内積が0が正解です

本問題は図形と方程式がベクトルのいずれかが分かれば解けますが、二直線が垂直であるといえる条件は以下の通りです。

• 直線の方程式：傾きの積が-1
• ベクトル表記：内積が0

直線の方程式において、垂直であるかどうかを判断するには、傾きの和ではなく、積を用いるので、覚えておきましょう。
また、垂直であるとベクトルの内積が0になる理由は以下の式のうち、cosθが0になるためです。

• (内積)=|a||b|cosθ

傾きが等しいが正解です

本問題は図形と方程式がベクトルのいずれかが分かれば解けますが、二直線が平行であるといえる条件は以下の通りです。

• 直線の方程式：二直線の傾きが等しい
• ベクトル表記：片方の直線の実数倍で表せる

中点の公式の利用が正解です

点に対して対称移動した点を求める方法については以下の通りです。

• 図形と方程式：中点の公式の利用
• ベクトル：q+QM
• 行列：点Mを中心に180°回転移動する

中点の公式の利用でけではイメージしにくいので、Q=(1.1),M=(2.3),A=(a_x,a_y)で考えた場合、MはQとAの中点であるので、以下の等式が成り立ちます

• x座標について：2=(1+a_x)2
• y座標について：3=(1+a_y)2

上記の等式を作ってしまえば、はそれぞれ、a_x、a_yの一次方程式であり、a_x=3,a_y=5と解いて中点を求めることができます。

与えられた点Pと求める点Qの中点を出すが正解です

点Pにおいて、直線lに対して対称な点Qの求め方の中で個人的に分かりやすいものには以下の解法と考えます。

1. 直線lに対して垂直となる直線の方程式を出す。
2. 与えられた点Pと求める点Qの中点Mを出す
3. 中点と与えられた点Pの情報から、点Qを導出する

他の選択肢で記載した正射影の解法では、向きが直線lで、大きさ0のベクトルが出るだけで、そこから何も求められないので誤りです。
また、中点Mを用いずに点Pと直線lの距離を用いる場合、やろうとすれば以下のような流れで解けないことはないのですが、こちらは計算量が多くなるので、一般的ではありません

1. 点Pと直線の長さを求める
2. 点Pを中心に半径が2倍の円の方程式を作成する。
3. 点Pを通り、直線lに対して垂直な直線の方程式を求める。
4. 直線lの方程式と円の方程式の交点を求め、適切な方を選ぶ

直線に垂直になるベクトルから導出する。が正解です

点と直線の距離の公式については、管理人も高校のころどのように対処すればいいか分からず苦手でした……
公式丸暗記するには複雑だから頭に入らないし、導出するにも面倒なものばかり……なのでピンとくる対処法があれば教えてほしいです。
じつは点と直線の距離の導出方法はたくさんあるのですが、管理人がしっくりきたのは以下の二つなので、確認してみるといいでしょう。

• 三角形の面積を2通りで表す
• 直線に垂直になるベクトルから導出する

それぞれの大枠の概要のみをのべると以下の通りです。

• 〇三角形の面積を2通りで表す方法の概要
1. 点Pからx軸,y軸に平行な直線を引き、x軸方向が底辺,y軸方向が高さの直角三角形の面積を出す
2. 先ほど作成した三角形の直線lの部分を長さを求める
3. 工程2で求めた長さを底辺とすると、高さは求める距離dとなるので工程1で作成した面積と等号で結ぶ
4. 方程式をdについて解く
• 〇直線に垂直になるベクトルから導出する方法の概要
1. 内積が0になる任意のベクトルαnを求める(αは任意の実数とする)
2. 点Pからαnだけ移動した結果直線l上の交点Hにぶつかるように点Hを仮定する。
   式を記載すると、PH=αn
3. αの値を求める
   ※具体的にはh=p+αnとし、Hが直線l上にあることから方程式を組む

また、やろうとすれば円と直線を連立した方程式を用いて以下のように求められないことはないのですが、おそらく計算量は多いので覚える必要はないです。

1. 以下の点Pを中心とする半径rの円を作成する
2. 直線の方程式の左辺をxのみ、又はyのみに変形し、円の方程式に代入する/li>
3. x又はyの二次方程式ができているはずなので、判別式Dの式を作成する
4. 接している、つまり解が一つであればよいので、判別式Dが0となるようなrを求める