問題1
ベクトルa=(2､3)､b=(5､7)においてa+bの結果として正しいものはどれか?
(7､10)が正解です
ベクトルは座標平面上を指定された方向だけ移動するものです。
そのため、初めは原点にある状態からベクトルaによって移動が起こったした結果、(2､3)になります。
次に、(2､3)にある状態からベクトルbに記載された分だけ座標の移動を行うと以下のようになります。
- (2+5､3+7)=(7､10)
問題2
ベクトルa=(3､4)､b=(5､12)においてb-aの結果として正しいものはどれか?
(2､8)が正解です
ベクトルの引き算も数字の引き算と同じようにベクトルaに解答のベクトル加えたらベクトルbになるというものを探せばよいです。
解答となるベクトルの成分を(○､△)と表すと、以下の関係式が成り立てば良いことが分かります。
- (3+○､4+△)=(5､12)
- (○､△)=(5-3､12-4) この計算結果を求めると解答の通りになることが分かるはずです。
問題3
ベクトル(ax,ay)の実数k倍した結果として正しいものはどれか
(kax,kay)が正解です
ベクトルを実数倍するということは、数字のかけ算と同様に同じベクトルを複数回足すものと考えられています。
同じベクトルを複数回足すということは、各成分を数倍するということと同じなので解答の通りになります。
問題4
座標平面にA(1,2)とB(3,5)がある、この時のベクトルABを求めよ。ただし、ベクトルABとはAの位置を基準としてどの方向にどのくらい進めばBにたどり着くかを示したのとする
(2,3)が正解です
A(1,2)とB(3,5)であるので、Aからx軸方向に2進めるとBのx座標と同じ3,Aからy軸方向に4進めるとBのy座標と同じ7になります。
ベクトルの概念単体では座標平面の問題を解くことにはやくには立ちませんが、次の問題以降に確認する内積や三角比の知識を合わせて使用することができると座標平面内の面積を非常に楽に求めやすくなります。
問題5
ベクトルa=(ax,ay)とベクトルb=(bx,by)の内積の大きさの表し方として不適切なものはどれか
│a││b│sinθが正解です
内積の大きさの表し方は以下の2通りです。
- │ a││b│cosθ
- axbx+ayby
問題6
内積がゼロになる状況
垂直が正解です
べクトルaとベクトルb 内積の大きさは以下のように表されます。
- a・b=│a│×│b│×cosθ
問題7
ベクトルにあいて2直線のなす角で使用する値に当てはまらないものはどれか
2直線の傾きの値が正解です
直線の傾きの値はtanθと同じになります。
そのため、2直線の傾きを値をtanα,tanβ)とするとその気になればtan(α-β)を用いて用いることはできます。
しかし、これはベクトルを使用した求め方ではないのでこの問題では不適切となります。
問題8
ベクトルのなす角を示すcosはどのようにして求めるか。
2通りの表し方から方程式を組むが正解です
内積の表し方には以下の2通りあります。
- (a・b)=|a||b|cosθ
- (a・b)=axby-bxay
- |a||b|cosθ=axby-bxay
- cosθ=axby-bxay|a||b|
問題9
垂直の時(内積)=0となる。なぜ?
cosθ=0が正解です
内積の大きさの定義は以下の通りです。
- a・b=|a||b |cosθ
- cosθ=底辺斜辺
- θ=90°のときcosθ=0
- cosθ=0のとき(内積)=0
- θ=90°のとき(内積)=0
問題10
ベクトルを用いた三角形の面積公式 S= √|a|2|b|2-(a・b)2}2 はどの式を基に導出するか?
S=absinθ2が正解です
ベクトルを用いた三角形の面積公式はsinθなのかcosθなのか迷いやすいため、公式の丸暗記ではなく、三角比による面積公式から以下のようにすぐに導出できるようにしておきましょう。
- absinθ2
- =ab√1-cos2θ2
- =√a2b2-a2b2cos2θ2
- =√|a|2|b|2-(a・b)22
問題11
ベクトルの大きさの導出
三平方の定理が正解です
ベクトルaを成分表示で(ax,ay)表している場合、ベルトルによってx軸方向にax、y軸方向にayに移動しているといえます。
ベクトルの大きさとはベクトルの長さのことを表しており、また、ベクトルaとx軸方向に平行な直線、y軸に平行な直線を引くと直角三角形をみることができます。
直角三角形の斜辺の長さは三平方の定理でもとめることができることから、ベクトルの大きさは三平方の定理で導出されます。