一問一答の一歩

大数の法則が正解です

大数の法則は統計と確率を結ぶ非常に有効な概念であり。1000回以上の大量のサンプルがある場合の相対度数は確率に近似することができます。
統計と確率が結びついていることで、少数のサンプルでも確率から未来をある程度予想することができたり、確率に関して平均や標準偏差のような統計情報をえることもできます。

1ずつ減るが正解です

樹形図の分岐のパターンは以下の2つに別れています

• ・規則的な樹形図
• ・不規則の樹形図

規則的な樹形図の場合、分岐のパターンは必ず以下のうち2パターンに別れています。

• ・分岐パターンが1ずつ減るパターン
• ・分岐パターンが不変のパターン

選んで並べるにはトランプのハ－トのA､J､Q､Kだけがある山札を1枚ずつ引いて、引いた順に左から並べるのをイメージすると分かりやすいです。
上記の樹形図の分岐のパターンを書き出してみると以下のように分岐することが分かるはずです。

• 4パターン
• →3パターン
• →2パターン
• →1パターン

常に不変が正解です

樹形図の分岐のパターンは以下の2つに別れています

• ・規則的な樹形図
• ・不規則の樹形図

規則的な樹形図の場合、分岐のパターンは必ず以下のうち2パターンに別れています。

• ・分岐パターンが1ずつ減るパターン
• ・分岐パターンが不変のパターン

分岐パターンが不変のパターンの例としてはサイコロを複数回振るという状況が分かりやすく､1回目が6通りであり､に何が出たとしても2回目のサイコロの目も必ず6パターンになるので分岐パターンも不変です。

並べ替えパターンで割るが正解です

樹形図をそのまま書こうとすると、選ぶだけ(順番関係なし)は分岐パターンが不規則系であり、抜けや漏れが起こりやすいので、規則系である「選んで並べる」に補正を加えると考えるとやりやすいです。
具体的な補正の考え方はこの場で説明するとどうしても長くなってしまうため、本文中のリンク先を参考にするといいでしょう。

n!が正解です

n個のものを並べ替えるときに用いる式は階乗と呼ばれており､以下のように表されます。

• =n!
• =n×(n-1)×……×2×1

また､場合の数の表記の仕方と対応は以下の通りです。

• ・並べ替えるだけ……n!
• ・選んで並べる……_nP_r=n×(n-1)×……(n-r)
• ・選ぶだけ(順不動)……_nC_r=nP_r/r!

_nP_rが正解です

場合の数の表記の仕方と対応は以下の通りです。

• ・並べ替えるだけ……n!=n×(n-1)×……×2×1
• ・選んで並べる……_nP_r=n×(n-1)×……(n-r)
• ・選ぶだけ(順不動)……_nC_r=nP_r/r!

_nC_rが正解です

場合の数の表記の仕方と対応は以下の通りです。

• ・並べ替えるだけ……n!=n×(n-1)×……×2×1
• ・選んで並べる……_nP_r=n×(n-1)×……(n-r)
• ・選ぶだけ(順不動)……_nC_r=nP_r/r!

一つを固定するが正解です

円順列は以下のように最後→最初の順番が成立する場合も同じと扱うと以下のものが全て同じと扱われます。
例､1～4の数字を円状に並べる円順列では以下のものが全て同じものとして扱われます。

• 1､2､3､4
• 2､3､4､1
• 3､4､1､2
• 4､1､2､3

そのため、一番最初の数字を固定してあげれば重複なく場合の数を数えることが出来るため、nこより少ない数の並べ替えとなり、場合の数は以下のようになります。

• (n-1)!

組み合わせの問題が正解です

図形の辺と対角線の合計はあらかじめn個の頂点が用意されている状況で頂点の中から2つを選んで結ぶと考えると分かりやすいです。
すると、選ぶ順番に関しては順不同であるので、求める辺と対角線の合計は以下の通りになります。

• _nC₂

なお、対角線のみの数を求める場合は上記の数に辺の数nを引けぼよいです。

組み合わせの問題が正解です

図形の辺と対角線の合計はあらかじめn個の頂点が用意されている状況で頂点の中から2つを選んで結ぶと考えると分かりやすいです。
すると、選ぶ順番に関しては順不同であるので、求めるものは以下の通りになります。

• _nC₂

同じものを含む順列が正解です

仮に3つあるUをU₁､U₂､U₃区別できるようにしたとすると、以下の6つは同じものとして扱われます。

• SU₁U₂GAKU₃
• SU₁U₃GAKU₂
• SU₂U₁GAKU₃
• SU₂U₃GAKU₁
• SU₃U₁GAKU₂
• SU₃U₂GAKU₁

そのため、3つのUは同じとされ、順不同となるので例として挙げたSUUGAKUの並べ替え場合の数は下記の式となるため、同じものを含む順列の問題といえます。

• 7!3!

同じものを含む順列が正解です

最短距離の道のパターンの数は矢印の並べ替えと考えます。
その際、同じ向きの矢印に関しては順不同であるので、同じものを含む順列と考えます。

排反が正解です

排反の例を挙げると、一つのくじを引いた時にそれが当たりくじであり、かつ同時にハズレくじでもある状況にはなり得ないということが挙げられます。
また、排反に関するパラドックスにも興味深いものがあるので、興味のある人は観てみると面白いでしょう。

独立が正解です

また、独立ではない状況のことは反対に従属と呼びます。
確率における独立と従属もややこしいので具体例をあげると以下のようになります。
〇従属している例
箱の中に3つのひもがあり、当たりのひもが一つ入っている場合に二人目が当たりのひもを引く確率は一人目の結果に左右される。(くじは戻さないものと仮定している)

• 1人目が当たる確率……13
• 2人目が当たる確率……(一人目が当たったら0,一人目が外れたら12)

〇独立な試行の例
コインを複数回投げる場合、以下の二つの確率は等しくなります。

• 1回目に裏が出る確率
• 2回目に裏が出る確率

※独立な試行に関してはよく考えるとすぐに分かるのですが、直観に反する確率の一つであり、独立している場合は何回裏が出たからといって、裏が出にくくなるということはありません。

期待値が正解です

期待値、分散、標準偏差は確率統計においては重要な数字であり、確率変数(上の例だと貰えるお金)をXとした時に以下のように表されます

• ・期待値……E(X)
• ・分散……V(X)
• ・標準偏差……S(X)

期待値はサイコロを降ったり、ギャンブルをするなどの場合、結果としてどのくらいのお金がもらえるかの見積もりの考え方の一つであり、知っておくとギャンブルの判断基準として役に立ちます。
標準偏差は起こりうる値、つまりギャンブルでいう貰えるお金のばらつきの大きさを示した値です。ギャンブルで標準偏差が大きい場合は以下のように期待値の使用が不適切になる場合もあります。
また、他の選択肢である最頻値は統計の分野の用語で、一番数の多いデータの値のことを指します。

E[X]が正解です

期待値はexpectedvalueの頭文字をとってE[X]と表されます。
ここで使用されているXは確率変数と呼ばれており、対応する確率が発生したときの結果のことを示しています。
例を挙げると、当たったらお金をもらえるくじを考えると、当たる確率とは別に存在する当たったときにもらえる金額が確率変数Xに当てはまります。

標準偏差が正解です

標準偏差はたくさんあるデ－タの散らばり具合を示す指標の一つであり、ざっくりと言うとデ－タが平均値からどのくらい離れているか平均をとったようなイメージです。
(厳密には少し違ってはいますが……)
平均値が同じでも、散らばり具合いによってデ－タの傾向は変わるので大事な指標の一つです。

σ[X]が正解です

確率統計の代表値は以下のように表されます。

• 期待値……E[X]
• 分散……V[X]
• 標準偏差……σ[X]

標準偏差の記号σ(シグマ)は「Standard deviation」の頭文字からとっているのですが、そのままSとしてしまうと、一般的に使用されている和の記号と混乱しやすいため、ギリシア文字で発音がSに対応しているσが使用されています。

_nC_rp^r(1-p)^1-rが正解です

起こる確率pのものがn回起こる事象の一つは以下の式で表されます。

• p^r(1-p)^1-r

しかし、n回起こる現象のパターンは一つだけでなく、_nC_rパターンだけあるので、それをかけることによって以下の反復施行の確率をもとめることができます。 _nC_rp^r(1-p)^1-r

二項分布が正解です

離散的な反復施行の確率分布は二項分布と呼ばれる特殊な確率分布であり、1回ごとの確率をp、試行回数をnとすると期待値E[X]と分散V[X]は以下のようになります。

• E[X]=np
• V[X]=np(1-p)

覚えやすく、計算時間を短縮できるので覚えても問題ないような気がしますが、忘れても期待値を導出できるようにはしておきましょう。
また、連続的な確率変数Xにおいて、二項分布をとると正規分布に近似することができます。

1/3が正解です

確率は以下の計算方法によって計算を行います。このことは直観的に理解できると思うので、覚えておきましょう。

• 求めるものが発生するパターン 全パターン

そして、それぞれの数字は以下のようになるので、解答の通りになります。

• (求めるものが発生するパターン)……当たりの扉は一つだけであるので1パターン
• (全パターン)……開ける扉が3つあるので3パターン

補足としてこれを発展させてさらに難しくしたパラドックスには、モンティホール問題というものがあり、動画リンクを共有しておくので興味のある人は考えてみましょう。

条件付き確率が正解です

ある前提となる条件を満たしていることが分かった状態で、さらに別の追加条件も満たす確率に関しては以下のようにかんがえます。

• ・分子→別の追加条件を満たす場合の数
• ・分母→前提となる条件を満たしている場合の数

条件付き確率がややイメージしにくいものであるため、条件付き確率の例をあげると以下のものがあります。

• 「ジョーカーを抜いた52枚のトランプが山札にある、このカードの山から新たに3枚のカードを抜き取ると、全てダイヤであった。このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか」

※例としてあげた問題の解答については、以下の動画を参照してみてください。

13が正解です

これは2人の子ども問題と呼ばれるものであり、こちらも条件付き確率の例の一つです。
具体的な考え方は以下の通りです。

• 2人兄弟の性別のパターンは4通り
• 前提条件を満たすパターンは4通りから両方とも女であるパターンを抜くので3パターン。
• また、両方とも男であるパターンは1パターンのみであるため、13となります。

また、動画を用いた解説もあるので、情報共有しておきます。

余事象が正解です

ある物事Pが起こらない確率はPの余事象と呼ばれており以下のような関係式が成り立ちます。

• (Pの余事象の確率)=1-(Pがおこる確率)

対象の確率Pが直接計算しにくい場合には余事象を用いて計算を行うとたまに計算が楽になることがあります。
例としてはガチャを何回も引いて少なくとも1回は当たる確率などが余事象の考え方を用いて計算されます。