【ブロックパズル】PerfectClearの数学的考察
半分趣味の話にもなってしまいますが、奇数と偶数を分けて考えることは数学ではパリティと呼ばれており、この考え方はプロックを用いたパズルゲームの組み方に使われたりするので、小ネタとして紹介しておきます。
問題
以下のような形に組みあげられたブロックパあります。(この組み方はテトリスではマンボウパフェと呼ばれる形です。)
上記のグレーの部分に以下の7種類のうちのテトロミノの3種類隙間なく敷き詰めようとした時に、必ず1つはTミノが必要になることを説明してください。
※ただし、1列揃えてもプロックが消えたりはしないものとします。
STEP1ブロックに関する分析
敷き詰めるブロックの形を互い違いになるように色分けをします。
こうすることで、奇数行か偶数行かまた、奇数列か偶数列か取り扱うことができます。
また、各テトラミノについても色を塗り分けていくと以下のようになります。
奇数と偶数による色の規則性については以下の通りです。
- ・(奇数行,奇数列)→白
- ・(奇数行,偶数列)→黒
- ・(偶数行,奇数列)→黒
- ・(偶数行,偶数列)→白
この状況を見てみると、以下のことが分かります。
- ・ブロックを敷き詰めるにはテトラミノ3つに対して黒い部分が7つ、白い部分が5つである必要があります。
- ・Tミノ以外のテトラミノ場合、黒いブロックは必ず2つになる
- ・Tミノの場合、黒いブロックは必ず1つか3つとなる。
STEP2:必ず1つはTミノが必要になる理由
ここで、仮にTミノが存在せずとも、隙間なく埋めることができるができると過程します。
Tミノ以外を使用する場合、テトラミノを一つ使う度に、黒いブロックは必ず2つづつ増えていきます。
この時、2は偶数であるので、Tミノ以外のブロックをいくら増やそうとも、黒いブロックは必ず偶数となります。
しかし、埋めつくそうとしている形は黒いブロックが奇数である5であるので、埋め尽くすことができることと矛盾しています。(成り立たない状況を仮定して、矛盾を確認することは背理法と呼ばれる証明方法です)
そのため、問題の形を埋め尽くすためには黒いブロックが奇数となるTブロックが必ず一つは必要といえます。
補足1:マンボウパフェについて
ちなみに、積み方のパターンについては以下のリンク先を確認してみるといいでしょう。
〇動画での説明
また、対戦テトリスの話になってしまいますが、マンボウパフェからの派生の積み方について自分でも考察してみたものがあるので興味のある方は是非見てみてぐたざい。
補足2:類題
また、類題を紹介しているサイトが2題あったので、考えてみたい方は是非挑戦してみてください。
